Metodos De Factorización

I. Factor Común: Sacar el factor común es añadir el termino común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes. También se puede describir como buscar el factor común entre los factores.

Ejemplo:

  3x+3y

Tenemos que el 3 es el factor que se encuentra repetido en los dos términos, que multiplica la "x" con la "y" por lo tanto 3 es el factor común tendríamos que:

 3x+3y=3(x+y)

Veamos otro ejemplo:

10a-15b 

No hay números repetidos pero debemos mirar cuales son los factores comunes de 10 y de 15 en este caso de los coeficientes debemos obtener lo que se llama el M.C.D ósea el M.C.D (10,15)

descomponemos el 10 15, utilizando números primos que le sirvan al 10 y al 15

ya una vez descompuesto nos quedaría de la siguiente manera 5(2a-3b). 

II. Factor común por agrupación de términos: Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos.

Un ejemplo numérico puede ser:

2y+2j+3xy+3xj

Entonces puedes agruparlos de la siguiente manera:

(2y+2j)+ (3xy+3xj)

Aplicamos Factor común

2(y+j) + 3x (y+j)

(2+3x)(y+j)

III. Trinomio cuadrado perfecto: Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces cuadradas exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces del primero por el segundo. Para solucionar un trinomio cuadrado perfecto debemos reordenar los términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis, separándolos por el signo que acompaña al segundo término; al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado.

Ejemplo:

Sea:

${\displaystyle 12xy+9x^{2}+4y^{2}\,\!}$

Ordenando según las normas del álgebra, de más a menos ${\displaystyle x\,\!}$, resulta que:

${\displaystyle 9x^{2}+12xy+4y^{2}\,\!}$

Y podemos darnos cuenta de:

${\displaystyle 9x^{2}=(3^{2})(x^{2})=(3x)^{2}\,\!}$

${\displaystyle 4y^{2}=(2y)^{2}\,\!}$

${\displaystyle 12xy=2(3x)(2y)\,\!}$

Podemos averiguar que es un TCP ya que cumple con las normas:

${\displaystyle 12xy+9x^{2}+4y^{2}=\left({\sqrt {9a^{2}}}+{\sqrt {4b^{2}}}\right)^{2}=(3x+2y)^{2}\,\!}$

IV. Diferencia de cuadrados: Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma (a-b)(a+b), uno negativo y otro positivo.

O en una forma más general para exponentes pares:

${\displaystyle (ay)^{2n}-(bx)^{2m}=((ay)^{n}-(bx)^{m})((ay)^{n}+(bx)^{m})\,}$

Y utilizando una productoria podemos definir una factorización para cualquier exponente, el resultado nos da r+1 factores.

${\displaystyle (ay)^{n}-(bx)^{m}=((ay)^{n/{2^{r}}}-(bx)^{m/{2^{r}}})\cdot \prod _{i=1}^{r}((ay)^{n/{2^{i}}}+(bx)^{m/{2^{i}}})\,}$

Ejemplo 1:

${\displaystyle 9y^{2}-4x^{2}=(3y)^{2}-(2x)^{2}=(3y+2x)(3y-2x)\,}$

Ejemplo 2:

Supongamos cualquier r, r=2 para este ejemplo.

${\displaystyle (2y)^{6}-(3x)^{12}=((2y)^{6/2^{2}}-(3x)^{12/2^{2}})\cdot \prod _{i=1}^{2}((2y)^{6/{2^{i}}}+(3x)^{12/{2^{i}}})=\,}$

${\displaystyle ((2y)^{3/2^{2}}-(3x)^{12/2^{2}})\cdot ((2y)^{3/2^{2}}+(3x)^{12/2^{2}})\cdot ((2y)^{3/2}+(3x)^{12/2})=\,}$

$$

          

   V. Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción:

Se identifica por tener tres términos, dos de ellos son cuadrados perfectos, pero el restante hay que completarlo mediante la suma para que sea el doble producto de sus raíces, el valor que se suma es el mismo que se resta para que el ejercicio original no cambie.

${\displaystyle =x^{2}+xy+y^{2}}$

${\displaystyle =x^{2}+xy+y^{2}+(xy-xy)}$

${\displaystyle =x^{2}+2xy+y^{2}-xy}$

${\displaystyle =(x+y)^{2}-xy}$

Nótese que los paréntesis en "(xy-xy)" están a modo de aclaración visual.

 VI. Trinomio de la forma x² + bx + c: Se identifica por tener tres términos, hay una lateral con exponente al cuadrado y uno de ellos es el término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado el término independiente y sumados (pudiendo ser números negativos) den como resultado el término del medio.

Ejemplo 1:

${\displaystyle a^{2}+2a-15=(a+5)(a-3)\,}$

Ejemplo 2:

${\displaystyle x^{2}+5x+6=(x+3)(x+2)\,}$

VII. Suma o diferencia de potencias: La suma de dos números a la potencia n, aⁿ +bⁿ se descompone en dos factores (siempre que n sea un número impar):

Quedando de la siguiente manera:

${\displaystyle x^{n}+y^{n}=(x+y)(x^{n-1}-x^{n-2}y+x^{n-3}y^{2}-...+xy^{n-2}-y^{n-1})\,}$

Ejemplo 1:

${\displaystyle x^{3}+1=(x+1)(x^{2}-x+1)\,}$

La diferencia también es factorizable y en este caso no importa si n es par o impar. Quedando de la siguiente manera:

${\displaystyle x^{n}-y^{n}=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+x^{n-3}y^{2}+...+xy^{n-2}+y^{n-1})\,}$

Ejemplo 1:

${\displaystyle x^{3}-1=(x-1)(x^{2}+x+1)\,}$

${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\,}$

Las diferencias, ya sea de cuadrados o de cubos salen de un caso particular de esta generalización.

VIII. Trinomio de la forma ax² + bx + c:En este caso se tienen 3 términos: El primer término tiene un coeficiente distinto de uno, la letra del segundo término tiene la mitad del exponente del término anterior y el tercer término es un término independiente, o sea sin una parte literal, así:

${\displaystyle 4x^{2}+12x+9\,}$

Para factorizar una expresión de esta forma, se multiplica la expresión por el coeficiente del primer término(4x²) :

${\displaystyle 4x^{2}(4)+12x(4)+(9\cdot 4)\ }$

${\displaystyle 4^{2}x^{2}+12x(4)+36\,}$

Luego debemos encontrar dos números que multiplicados entre sí den como resultado el término independiente y que su suma sea igual al coeficiente del término x :

${\displaystyle 6\cdot 6=36}$

${\displaystyle 6+6=12\,}$

Después procedemos a colocar de forma completa el término x² sin ser elevado al cuadrado en paréntesis, además colocamos los 2 términos descubiertos anteriormente :

${\displaystyle (4x+6)(4x+6)\,}$

Para terminar dividimos estos términos por el coeficiente del término x² :

${\displaystyle {\frac {(4x+6)(4x+6)}{4}}\,}$ :${\displaystyle ={\frac {(4x+6)}{2}}\cdot {\frac {(4x+6)}{2}}\,}$

Queda así terminada la factorización :

${\displaystyle (2x+3)(2x+3)\,}$ :${\displaystyle =(2x+3)^{2}\,}$